在气象预测领域，很多时候，模型具有以上的量级，如果使用传统的卡尔曼滤波，协方差矩阵的更新将是一个~量级的计算操作，因此传统的卡尔曼滤波并不适用。集合卡尔曼滤波（Ensemble Kalman filter）用sample covariance模拟原本的协方差矩阵，用一个小的多的量级的矩阵运算代替原本的协方差矩阵更新。集合卡尔曼滤波与粒子滤波有相通之处，集合卡尔曼滤波假设用来做模拟的ensembles符合高斯分布。
本文将通过一个应用EnKF进行定位的python实例来初探集合卡尔曼滤波的概念。
根据参考【1】，集合卡尔曼滤波的公式为：
下面我们来看参考【2】中的代码：
for ip in range(NP):
x = np.array([px[:, ip]]).T # Predict with random input sampling
# 预测：给输入加上方差为Q的随机误差：
ud1 = u[0, 0] + np.random.randn() * Q[0, 0] ** 0.5
ud2 = u[1, 0] + np.random.randn() * Q[1, 1] ** 0.5
ud = np.array([[ud1, ud2]]).T
x = motion_model(x, ud)
px[:, ip] = x[:, 0]
对应公式(10)，给运动模型的输入加上qi，计算每一个ensemble的状态向量的值。
接下来：
# 根据状态预测值x和观测值z获取路标点加上观测方差R的空间位置z_pos
z_pos = observe_landmark_position(x, z)
pz[:, ip] = z_pos[:, 0]
在这里我认为observe_landmark_position函数计算的其实是：
原因在计算(17)时会提到。
x_ave = np.mean(px, axis=1)
# 计算 x_f-x_f_bar
x_dif = px - np.tile(x_ave, (NP, 1)).T
z_ave = np.mean(pz, axis=1)
# 计算 Hx_f-Hx_f_bar
z_dif = pz - np.tile(z_ave, (NP, 1)).T
U = 1 / (NP - 1) * x_dif @ z_dif.T
V = 1 / (NP - 1) * z_dif @ z_dif.T
接下来和我认为分别对应(12)(13)。在计算卡尔曼增益时，原代码直接计算：
K = U @ np.linalg.inv(V)
不知为什么好像没有体现出(14)式中的观测协方差，难道是因为我在上面提到的中已经包含了观测噪声？
我对原代码进行了一些改动，加入了观测方差（不能保证理论上的正确性），改动后的定位效果目测与原先没什么区别。
# 以下是我的改动：
# 观测协方差矩阵：
R_a = np.diag([R[0,0]/2, R[0,0]/2] * z.shape[0])
# 原代码：K = U @ np.linalg.inv(V)分母不包含观测协方差矩阵，
# 这似乎与参考论文所述K的计算方法不符，不知道为什么这样处理
# 在加入观测协方差R计算K后，与不加R计算K在定位结果上**目测**没有什么差别
K = U @ np.linalg.inv(V + R_a) # Kalman Gain
最后计算残差并进行更新：
# 获取观测的真值：
z_lm_pos = z[:, [2, 3]].reshape(-1, )
# 更新：在这里pz包含了Hx_f和观测噪声r
px_hat = px + K @ (np.tile(z_lm_pos, (NP, 1)).T - pz)
在这里我们看到更新时直接用路标点真值减去了，这也是为什么上面我提到observe_landmark_position函数计算的其实是
完整的包含注释的python代码如下：
